domingo, 12 de octubre de 2008

LÍNEAS DE INFLUENCIA

INTRODUCCIÓN
Desde los cursos básicos como Física 1 y 2, Estática, Resistencia de materiales 1 y 2; el estudio de los elementos estructurales, como es el caso de vigas, se centraba en aquellas sometidas a sistemas de cargas fijas o estáticas. En la vida real podemos constatar que no siempre es así y que a parte de las cargas fijas o estáticas, las estructuras, están sometidas a otras fuerzas externas como son las Cargas Vivas o aquellas que no permanecen en un solo punto o distribuidas constantemente sobre la estructura.
En el caso de estructuras sometidas a cargas muertas, la representación de la variación de las cargas a lo largo de una viga, quedaba determinada mediante los diagramas de Fuerza cortante y Momento Flector. Pero al someter una viga a cargas móviles que se desplazan de un extremo a otro sobre ella, se puede percibir con un simple criterio lógico que las reacciones en los apoyos, las fuerzas cortantes y los momentos flectores no permanecen constantes y que varían a medida de que la fuerza se aleje de un extremo y se acerque al otro.
En este caso se necesita incurrir en ciertos criterios o aplicar algún método para determinar las condiciones en que una viga trabajará al tener q soportar a estas cargas móviles y de acuerdo a éstas, diseñarlas para soportar las condiciones de carga más severas, que probablemente se apliquen o generen en dicho elemento durante su vida útil.
El Ingeniero civil, en particular, al trabajar el cálculo de estructuras que estarán sometidas a cargas vivas, que se desplazan a lo largo de ella, necesita conocer los puntos críticos donde se producen los mayores efectos de las cargas. Es en este sentido la ejecución de este trabajo, con el afán de conocer y aprender la aplicación y uso de las Líneas de Influencia, para determinar las reacciones, fuerzas cortantes y momentos flectores generados por las cargas móviles.

I. GENERALIDADES

OBJETIVOS:

· Investigar y conocer la importancia de las líneas de influencia en el diseño de vigas.
· Destacar las consideraciones del tema de líneas de influencia respecto a la aplicación de cargas móviles.
· Lograr destreza en graficar y comprender el diagrama de líneas de influencia para reacciones, fuerzas cortantes y momentos flectores.

LIMITACIONES DEL TRABAJO:

· El trabajo está limitado al estudio de líneas de influencia en vigas.
· El conocimiento previo sobre la aplicación de cargas móviles en estructuras es deficiente.

JUSTIFICACIÓN DEL TRABAJO:

· El presente trabajo está justificado en el marco del proceso de aprendizaje de asignatura de Análisis estructural de la Facultad de Ingeniería Civil de la UNSM, establecido en el Syllabus respectivo. Pues el Ing. Civil en su futuro laboral se encontrará con estructuras sometidas a cargas móviles, como ejemplo más común en el caso de puentes con el paso de los vehículos a lo largo de él.

II. MARCO TEÓRICO

HISTORIA:

En 1867 se introdujo la línea de influencia por el alemán E. Winkler. Alrededor de veinte años después fue descubierto por el Prof. Müller -Breslau el importante principio según el cual pueden determinarse fácilmente las líneas de influencia para estructuras, tanto determinadas como indeterminadas.Se recordará que en 1886 Müller –Breslau publicó su versión mejorada del método general de Maxwell y Mohr. Al desarrollar este método, se dio cuenta del gran valor del teorema de desplazamientos recíprocos de Maxwell, descubriendo también el principio que ahora lleva su nombre. Este principio es la base para determinar la mayor parte de las líneas de influencia para estructuras indeterminadas, independientemente de que el método seleccionado sea matemático o experimental.

PRINCIPIO DE MÜLLER-BRESLAU:

Este principio puede enunciarse como sigue: “Si una componente de esfuerzo interno o una componente de reacción se considera aplicada a lo largo de una pequeña distancia y que dicha aplicación flexione o desplace una estructura, la curva de la estructura flexionada o desplazada será, en escala proporcional, la línea de influencia para los esfuerzos o componentes de reacción”.Este principio se aplica a vigas, marcos continuos, estructuras articuladas y a estructuras determinadas e indeterminadas. Sin embargo para estructuras determinadas se limita a aquellas para las que es válido el principio de superposición.

DEFINICIÓN:

La línea de influencia puede definirse como una gráfica cuyas ordenadas representan la magnitud y el carácter o sentido de cierta función o efecto en una estructura, a medida que una carga unitaria móvil se desplaza a lo largo de la misma. Es decir, una línea de influencia representa la variación de la reacción, de la fuerza cortante, del momento flector o de la deflexión en un punto específico de un miembro cuando una fuerza concentrada se mueve sobre dicho miembro.La ordenada del diagrama define el valor de la función cuando la carga móvil se encuentra colocada en el sitio correspondiente a dicha ordenada. Es decir que la magnitud de la reacción, fuerza cortante, momento flector o deflexión en un punto, puede calcularse a partir de la ordenada del diagrama de la línea de influencia en dicho punto.




PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS

Propondremos dos procedimientos para construir la línea de influencia en un punto P específico de un miembro para cualquier función (reacción, fuerza cortante o momento). En estos procedimientos escogeremos la fuerza móvil con una magnitud unitaria adimensional.
a) Valores tabulados. Coloque una carga unitaria en varias posiciones “x” a lo largo del miembro y en cada posición use la estática para determinar el valor de la función (reacción, fuerza cortante o momento) en el punto especificado.
Por ejemplo, si va a construirse la línea de influencia para una reacción de fuerza vertical en un punto sobre la viga, considere la reacción como positiva en el punto cuando actúe hacia arriba sobre aquella.
Si va a dibujarse la línea de influencia de la fuerza cortante o del momento flector para un punto, tome la fuerza cortante y momento como positivo en el punto si actúa en el sentido convencional usado para dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento.
Todas las vigas estáticamente determinadas tendrán líneas de influencia que consisten en segmentos rectos de líneas.
Se puede minimizar los cálculos al localizar la carga unitaria sólo en puntos que representen los puntos extremos de cada segmento de línea.
Para evitar errores, se recomienda que primero se construya una tabla en que aparezca la “carga unitaria X” versus el valor correspondiente de la función calculada en el punto específico; esto es la “reacción R”, la “fuerza cortante V” o el “momento flexionante M”.
Una vez que la carga se ha colocado en varios puntos a lo largo del claro del miembro, es posible trazar los valores tabulados y construir los segmentos de la línea de influencia.
b) Ecuaciones de las líneas de influencia: La línea de influencia puede también construirse colocando la carga unitaria en una posición x variable sobre el miembro y luego calcular el valor de R, V o M en el punto como función de x.
De esta manera, pueden determinarse y trazarse las ecuaciones de los varios segmentos de línea que componen la línea de influencia.
Aunque el procedimiento para construir una línea de influencia s básico, uno debe ser consciente de la diferencia entre construir una línea de influencia y construir un diagrama de fuerza cortante o de momento.
Las líneas de influencia representan el efecto de una carga móvil sólo en un punto especificado sobre un miembro, mientras que los diagramas de fuerza cortante y momento representan el efecto de las cargas fijas en todos los puntos a lo largo del eje del miembro.

LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA VIGAS:

Como las vigas o trabes son a menudo los elementos principales portadores de carga de un sistema de piso o de la cubierta de un puente, es importante poder construir las líneas de influencia para las reacciones, fuerza cortante o momento en cualquier punto especificado de una viga.
Cargas:
Una vez construida la línea de influencia para una función (reacción, fuerza cortante o momento) será entonces posible localizar las cargas vivas sobre la viga que produzcan el valor máximo de la función.

Respecto a esto, se considerarán ahora dos tipos de cargas:
1) Fuerza concentrada:
Como los valores numéricos de una función para una línea de influencia se determinan usando una carga unitaria sin dimensiones, entonces para cualquier fuerza concentrada F que actúe sobre la viga en cualquier posición x, el valor de la función puede encontrarse multiplicando la ordenada de la línea de influencia en la posición x por la magnitud de F.
2) Carga uniforme:
Considere una porción de una viga sometida a una carga uniforme w . Cada segmento dx de la carga w crea una fuerza concentrada igual a dF=wdx sobre la viga. Si dF está localizada en x, donde la ordenada de la línea de influencia de la viga para alguna función (reacción, fuerza cortante, momento) es y, entonces el valor de la función es (dF)(y)=(wdx)y. El efecto de todas las fuerzas concentradas dF se determina integrando sobre la longitud total de la viga, esto es: ∫ wydx = w∫ ydx , ya que w es constante.
Además, como ∫ ydx es equivalente al área bajo la línea de influencia, entonces, en general, el valor de una función causada por una carga uniforme distribuida es simplemente el área bajo la línea de influencia para la función, multiplicada por la intensidad dela carga uniforme.

Líneas de Influencia
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Ejercicios:







Anexos:
En la vista un camión de gran tonelaje, la reacción en los apoyos, fuerza cortante y momento flexionante en cualquier punto de la estructura debido al peso del camión, puede calcularse del diagrama de líneas de influencia, tal como se demostró en los ejemplos de aplicación





V. BIBLIOGRAFÍA

_ ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS INDETERMINADAS; J. Sterling Kinney.
_ ANÁLISIS ESTRUCTURAL; Jack C. Mc Cormac.
_ ANÁLISIS ESTRUCTURAL; R.C Hibbeler.

miércoles, 30 de julio de 2008

Ecuación de los Tres Momentos


Introducción:

El presente trabajo se basa en la investigación para conocer un poco más sobre otro de los métodos que permite encontrar reacciones y los momentos en cualquier punto de una viga; me refiero al método de los tres momentos.

En este trabajo daremos a conocer sobre la definición de este método, para qué nos sirve, como es su proceso aplicativo, en qué tipo de estructura es aplicable este método, la diferencia de este método con el que ya estudiamos anteriormente (área de momentos y viga conjugada), y por último procederemos a resolver los problemas dados conociendo los aspectos más básicos de la teoría.

En la definición, explicaremos a qué se le llama “ecuación de los tres momentos”, en qué fundamentos teóricos se basa, que nos permite calcular las reacciones en los tres apoyos y diagramas de fuerza cortante y momento flexionante completos.
También, aprenderemos a través de un gráfico que una viga con apoyos simples y con varios tramos es aquella en donde se podrá aplicar este método.
Por último, después de haber conocido todos estos conceptos básicos para poder resolver los ejercicios, procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teoría para llevarlos a la práctica.

Objetivos:

- Determinar las reacciones en los apoyos y los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante completos.
- Graficar correctamente el diagrama de momentos flexionante y el diagrama de fuerza cortante de la viga.
- Resolver los ejercicios dados a través de la teoría estudiada, aplicando la ecuación de los tres momentos.

Limitaciones del trabajo:

o Desarrollar ejercicios con más grado de dificultad.
o Aplicar la teoría en ejercicios como vigas de varios tramos y de diferentes cargas.

Justificación del trabajo:

o Manejar correctamente la ecuación de los tres momentos para el mejor entendimiento y resolución de los ejercicios.
o Obtener buenos resultados en el aprendizaje del presente tema, conociendo aun más la teoría.

Glosario:

- En general y para viaje en tramos de sección constante:

Mi, Mj, Mk = Momentos flectores en los apoyos (en la convención de signos de resistencia de materiales)

Lj = Longitud reducida del tramo de longitud Lj y momento de inercia Ij.

E = Modulo o coeficiente de elasticidad normal.

J = Momento de inercia de comparación.

MÉTODO DE LOS TRES MOMENTOS.

Desarrollado por Clapeyron para el cálculo de las vigas continuas es un método muy operativo e interesante por la forma de aplicación del principio de superposición así como por la introducción de las condiciones de continuidad en la tangente de la elástica.

Vigas Continuas

Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:




M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0

Donde:
M1, M2, M3 : Momento flectores en los apoyos 1, 2 y 3
L1, L2 : Longitudes de los tramos 1 y 2
A1, A2 : Área del diagrama de Momentos Flectores de las Cargas sobre los tramos 1 y 2
a1 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 1 al apoyo 1.
b2 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 2 al apoyo 3.

Los términos (6A1a1)/L1 y (6A2b2)L2 pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas básicos.
Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose.

Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:



Tramo 1-2:
M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0

Tramo 2-3:
M2L2 + 2M3(L2 + L3) + M4L3 + (6A2a2)/L2 + (6A3b3)/L3 = 0

Tramo 3-4:
M3L3 + 2M4(L3 + L4) + M5L4 + (6A3a3)/L3 + (6A4b4)/L4 = 0

En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5). Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en tos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:

1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.

2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:

M4L4 + 2M5(L4 + L0) + M0L0 + (6A4a4)/L4 + (6A0b0)/L0 = 0

M4L4 + 2M5L4 + (6A4a4)/L4 = 0
O sea :

3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.




M1 = 0
M2 = PL1


Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:

R1=(M2-M1)/L1 < r2="">
Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo:



R1=(M2-M1)/L1

R2=(M1-M2)/L1 + (M3-M2)/L2

R3=(M2-M3)/L2 + (M4-M3)/L3

R4=(M3-M4)/L3 + (M5-M4)/L4

R5=(M4-M5)/L4

Por medio de este teorema puede analizar una viga apoyada por cualquier número de apoyos, esto se debe a que relaciona los momentos flexionante en 3 apoyos entre sí y con las cargas que se encuentran en la viga.

Ejercicios:













viernes, 11 de julio de 2008

viernes, 27 de junio de 2008

Método de la Viga Conjugada

INTRODUCCIÓN:
El presente trabajo se basa en la investigación para conocer un poco más sobre otro de los métodos que permite encontrar giros y desplazamiento en cualquier punto de la elástica en una viga; me refiero al método de la viga conjugada.

En este trabajo daremos a conocer sobre la definición de este método, para qué nos sirve, como es su proceso aplicativo, en qué tipo de estructura es aplicable este método, qué es una viga ficticia y qué relaciones guarda con una viga real, la diferencia de este método con el que ya estudiamos anteriormente (área de momentos), y por último procederemos a resolver los problemas dados conociendo los aspectos más básicos de la teoría.

En la definición, explicaremos a qué se le llama “viga conjugada”, en qué fundamentos teóricos se basa, que tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica y que se utiliza en vigas y columnas estáticamente determinadas.
También, aprenderemos a través de un gráfico que una viga ficticia es aquella que se carga con el diagrama de momentos reducidos de la viga real, y por consiguiente guardan relación de donde se obtiene las analogías que se utilizan para resolver los ejercicios.
La convención de signos en este método se fundamenta en el resultado de haber encontrado el momento o la fuerza cortante de la viga ficticia, pues según sea el signo de la respuesta, se sabrá el signo de la flecha o del giro en la viga real.
Por último, después de haber conocido todos estos conceptos básicos para poder resolver los ejercicios, procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teoría para llevarlos a la práctica.


Objetivos:
- Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de la viga real utilizando una viga ficticia para ello.
- Graficar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la viga real para poder crear así nuestra viga ficticia.
- Resolver los ejercicios dados a través de las relaciones estudiadas entre una viga real y ficticia.

Limitaciones del trabajo:
o Desarrollar ejercicios con más grado de dificultad.
o Aplicar la teoría en ejercicios como vigas de varios tramos y de diferentes cargas.

Justificación del trabajo:
o Manejar correctamente la teoría del método de la viga conjugada para el mejor entendimiento en la resolución de ejercicios.
o Obtener buenos resultados en el aprendizaje del presente tema, conociendo aun más la teoría.

Glosario:


MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA

Fundamentos Teóricos.

Derivando 4 veces la ecuación de la elástica se obtiene.

La relación entre ordenadas, pendientes y momentos son las mismas que las que existen entre momento, fuerza cortante y carga. Esto sugiere que puede aplicarse el método de área de momentos para determinar el momento flector, partiendo del diagrama de cargas, de la misma manera que se ha empleado para determinar las ordenadas a partir del diagrama de momentos.
La analogía entre las relaciones entre carga-fuerza, cortante-momento flector y entre momento-pendiente-ordenadas, sugiere que éstas últimas se puedan establecer con los métodos de diagramas de fuerza cortante y momento flector para calcular la fuerza cortante y momento flector a partir de las cargas. Para ello hay que suponer que la viga está cargada, no con las cargas reales sino con el diagrama de m/EI correspondiente a dichas cargas.
Considerando entonces este diagrama de M/EI como una carga ficticia, se calcula la fuerza cortante y momento flector ficticios, en un punto cualquiera, que se corresponden con la pendiente y la ordenada de la elástica en los mismos puntos de la viga inicial. A este método se le denomina Método de la Viga Conjugada.
Aplicando a una viga cargada con el diagrama de M/EI los principios estudiados para hallar la fuerza cortante y momento flector se tiene:

1. Pendiente real = Fuerza Cortante Ficticia.
2. Ordenada real = Momento Flector Ficticio.

Definición de la viga conjugada:
Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado de la compresión.
La viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada.
El método de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma.

Este método consiste en cambiar el problema de encontrar, las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistemas de cargas aplicadas. Tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica.

Viga conjugada:

Relaciones entre la viga real y la viga conjugada.

a.- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma.
b.- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real.
c.- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el
mismo punto de la viga real.
d.-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el
mismo punto de la viga real.
e.-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada.
f.- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga
conjugada.
g.- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado.
h.- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulación
en la viga conjugada.


Relaciones entre los apoyos

Este método al igual que el del eje elástico y área de momentos nos permite calcular los giros y flechas de los elementos horizontales denominados vigas o de los verticales llamados columnas.
En este capítulo estudiaremos este importante método aplicándolo tanto a vigas como pórticos.
En cuanto a las características de la viga conjugada, dado que al cargarse ésta con las cargas elásticas su diagrama de momentos flectores debe representar exactamente la elástica de la viga real, sus vínculos deben elegirse de manera tal que se respeten estas premisas.

Analogías de Mohr




Convenios de signos:
Si la fuerza cortante sale con signo positivo el giro es horario.
Si el momento flector sale con signo negativo la flecha es hacia abajo.

Conclusión:
El cortante en cualquier sección de la viga conjugada es el giro en la viga real en dicha sección.
El momento flector en una sección de la viga conjugada es la flecha en la viga real en dicha sección.

Relación entre la viga real y la viga conjugada:


a). Un apoyo extremo en la viga principal ha de transformarse en un apoyo en la viga conjugada.
b). Un apoyo intermedio en la viga principal ha de transformarse en una articulación de la viga conjugada.
c). Un extremo empotrado en la viga principal ha de transformarse en un extremo libre en la viga conjugada.
d). Un extremo libre en la viga principal ha de transformarse en un extremo empotrado en la viga conjugada.
e). Una articulación en la viga principal ha de transformarse en un apoyo intermedio de la viga conjugada.


Ejercicios:

E-1). Determinar el giro en B y la fleca en C de la siguiente estrucutura:


E-2) Calcular la flecha en B:


E-3) Encontrar la flecha máxima en la viga:


E. 4) Calcular el giro en B y la flecha en D de la siguiente viga:



E-5) Calcular el giro en B de la siguiente viga:


ANEXOS:
Los puentes de elevación vertical utilizan cables, poleas, motores y contrapesos para levantar una sola sección del puente en forma vertical como si fuera un elevador. Cuando el puente está arriba pueden pasar por debajo barcos con la altura máxima de la parte inferior de su estructura. Constan de dos torres en los extremos construidas generalmente con piezas de acero.


Utilizando todo lo aprendido acerca del método de la viga conjugada, podremos encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada, a través de un cálculo más práctico, porque sólo nos basta graficar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como una nueva viga (ficticia) y, encontrar lo solicitado. Aplicando correctamente la relación que existe entre esta viga ficticia con la real.
Bibliografía.

Análisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Págs. 21 – 37
1º Edición.
Mecánica de Materiales
FERDINAND P. BEER, E. RUSSEL JOHNSTON, JR.
Págs. 528 – 537
2º Edición

Resistencia de Materiales I – II
ARTEAGA N., P. IBERICO C., P. IBERICO C., C. GONZALES, A. MEGO C.
Págs. 137 – 152
3º Edición.



lunes, 19 de mayo de 2008

Introducción

El presente trabajo trata sobre uno de los métodos para calcular desplazamientos y giros en un punto cualquiera de una viga determinada, como es el método del área de momentos.
En este trabajo daremos a conocer la definición de este método, así también en que tipos de estructura se utiliza, los teoremas que comprende y sus respectivas demostraciones, las condiciones que requiere, qué es una desviación tangencial y una variación de la pendiente, la convención de signos correspondientes y por último la aplicación de todo esto para la solución de problemas dados.


Dentro de la definición conoceremos a que se debe el nombre de “área de momentos”, para qué sirve y qué nos permite conocer. En lo que respecta al tipo de estructura, conoceremos en qué tipo de viga son aplicables sus teoremas.


De los teoremas, conocidos como los teoremas de Mohr, a través de sus respectivas demostraciones obtendremos los factores que lo conforman y conoceremos la aplicación de cada uno de ellos. Así también, por la deducción de estos teoremas, conoceremos a que se refiere una desviación tangencial y una variación de pendiente en cualquier punto de una viga dada.

La convención de signos, con lo que respecta a una desviación tangencial positiva o negativa, o a una variación de pendiente positiva o negativa se explicará de una manera muy práctica, mediante gráficos con sus respectivas deducciones.
Por último, después de haber conocido todos estos conceptos básicos para poder resolver de ejercicios, procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teoría para llevarlos a la práctica.

I.- Objetivos:

- Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de una viga determinada, utilizando para ello el método del área de momentos con los teoremas de Mohr.
- Graficar correctamente el diagrama de momentos de una viga determinada con una carga cualquiera.
- Graficar correctamente la elástica de una viga determinada con una carga cualquiera.


II. Limitaciones del trabajo:

o Desarrollar ejercicios con más grado de dificultad.
o Aplicar la teoría en ejercicios como vigas de varios tramos y de diferentes cargas.


· Justificación del trabajo:


o Manejar correctamente la teoría del método del área de momentos para el mejor entendimiento en la resolución de ejercicios.
o Obtener buenos resultados en el aprendizaje del presente tema, métodos del área de momentos, conociendo aun más la teoría.


Glosario:
- , ángulo que hace con el eje de abscisas la tangente geométrica al eje de la estructura (eje aún no deformado).

- Momentos reducidos.

- , ángulo que forman entre sí las tangentes geométricas trazadas en los puntos B y A del eje deformado.


- tAB, Distancia del punto B del eje deformado a la tangente trazada en el punto A del mismo eje, distancia medida perpendicularmente al eje de abscisas considerado.

- A, área encerrada por el diagrama de momentos reducidos, entre los extremos correspondientes a B y A.



- X, abscisa del centro de gravedad del área “A” medida desde el extremo B.


II.- MÉTODO DEL ÁREA DEL DIAGRAMA DE MOMENTOS
TEOREMAS DE MOHR


Un método muy útil y sencillo para determinar la pendiente y deflexión en las vigas es el método del área de momentos, en el que intervienen el área del diagrama de momentos y el momento de dicha área. Se comienza, en primer lugar, por los dos teoremas básicos de este método; luego, una vez calculadas las áreas y los momentos de estas áreas del diagrama de momentos, se aplica el método a varios tipos de problemas. El método está especialmente indicado en la determinación de la pendiente o de la deflexión en puntos determinados más que para hallar la ecuación general de la elástica. Como en su utilización se ha de tener en cuenta la forma y relaciones geométricas en la elástica, no se pierde el significado físico de lo que se está calculando.
El método del área de momentos está sujeto a las mismas limitaciones que el de la doble integración. Sin embargo, para verlo en su totalidad, como un conjunto completamente independiente, se repite una pequeña parte de lo dicho en la sección anterior. La figura (a), representa una viga simplemente apoyada con una carga cualquiera. La elástica, como intersección de la superficie neutra con el pleno vertical que pasa por el centroide de las secciones, se representa en la figura (b), aunque sumamente exagerada. El diagrama de momentos se supone que es el representado en la figura (c).







1.- Teoremas de Mohr:


Los teoremas de Mohr, describen la relación entre el momento flector y las deformaciones que éste produce sobre una estructura. Los teoremas de Mohr permiten calcular deformaciones a partir del momento y viceversa. Son métodos de cálculo válidos para estructuras isostáticas e hiperestáticas regidas por un comportamiento elástico del material.
Usualmente estos teoremas conocen como Teoremas de Mohr, sin embargo fueron presentados por el matemático británico
Green en 1873



Teoremas:




a) Teorema I:

El ángulo comprendido entre las tangentes de dos puntos cualesquiera A y B de la línea elástica es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos, dividida por E.I.








Como





El teorema de Mohr dice que el giro de un punto de una elástica (la deformada) respecto de otro punto de la elástica, se puede obtener mediante el área de momentos flectores entre A y B, dividido por la rigidez a flexión "EI".


b) Teorema II:



La ordenada B respecto a la tangente en A es igual al momento estático, con respecto a B, del área del diagrama de momentos flectores comprendida entre A y B, dividida por E.I







Si existe un punto de inflexión en la línea elástica entre A yB:


El momento estático recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia a su centro de gravedad. Por otro lado, si la figura que representa el diagrama puede descomponerse en figuras elementales tales como rectángulos, triángulos, parábolas, etc., el momento estático total resultara ser la suma de los correspondientes a cada una de las figuras elementales.


La longitud tA/B se llama desviación de B respecto de una tangente trazada por A o bien desviación tangencial de B respecto de A. El subíndice indica que se mide desde B hasta la tangente trazada en A. la figura adjunta aclara la diferencia que existe entre la desviación tangencial tA/B de b respecto a A y la desviación tB/A de A respecto de B. Por lo general ambas desviaciones son distintas.




Notas:


El producto EI se llama rigidez de la flexión. Obsérvese que se ha supuesto tácitamente que E e I permanecían constantes en toda la longitud de la viga, que es un caso muy común. Sin embargo, cuando la rigidez es variable, no puede sacarse EI del signo de la integral, y hay que conocerla en función de x. Tales variaciones suelen tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de momentos para obtener de esta misma manera un diagrama de M/EI al que se aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M.
En los dos teoremas, (área)AB representa el área del diagrama de momentos entre las ordenadas correspondientes entre los puntos A y B, XB es el brazo de momento de esta área con respecto a B. Cuando el área del diagrama de momentos se compone de varias partes, positivas y negativas, la expresión (área)AB . XB representa el momento del área de todas estas partes.
El momento del área se tomo siempre con respecto a la ordenada del punto cuya desviación se quiere obtener, por lo que conviene ponerle a X el subíndice correspondiente, por ejemplo B, lo que indica que el brazo de momentos se toma hasta este punto. Obsérvese que este subíndice B es el mismo del numerador del subíndice de t, B/A.



2.-Convención de Signos:


La desviación tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto que por encima de la tangente trazada con respecto a la cual se toma esta desviación, y negativa si queda por debajo de dicha tangente.





Otro convencionalismo de signos es el que se refiere a las pendientes y se indica en la figura. La variación de la pendiente es positiva cuando indica que la tangente en el punto situado a la derecha, B, se obtiene girando en sentido contrario al del reloj, la tangente trazada en el punto más a la izquierda, A; es decir, que para pasar de la tangente en A, a la tangente B se gira en sentido contrario al del reloj, y viceversa para los valores negativos.



3.- Método de Bresse:
















Por convención los signos son positivos.






a) Concavidad y Convexidad:
· Si el diagrama de momentos es positivo en el tramo analizado, entonces la deformada es cóncava.
· Si el diagrama de momentos es negativo en el tramo analizado, entonces la deformada es convexa.


Algunas áreas del diagrama de momentos:













Aplicación De Los Teoremas De Mohr Para La Resolución De Vigas Hiperestáticas.













Incógnitas: Ecuaciones:
En A: RA ∑F = 0
En B: RB y MB ∑M = 0


Resolución del sistema hiperestático:






Por el segundo teorema de Mohr:






Para x = 1:

M = 0:
Como :





Q= 0:



4.- Aplicación:


Una observación muy importante en cuanto a la aplicación de los teoremas anteriores es que cuando la elástica tiene un punto de inflexión el diagrama de momentos reducidos cambia de signo, en ese caso cada parte del diagrama debe tratarse con su propio signo.
Los teoremas de Mohr son relativos, es decir, siempre se calcula la flecha o el giro respecto al de otro punto. Su aplicación práctica sólo es útil cuando uno de los puntos tiene un giro o flecha conocido, especialmente si por sus
condiciones de contorno alguno de estos valores es cero.


Ejemplos:

E-1) Calcular la flecha en “C”:



E-2). Calcular la fleca en “b”, si la magnitud de la fuerza P está en función de w.l:




E-3). Calcular la fleca el giro en B y en C, si E=2.1x106 e I=8x103




E-4). Calcular la flecha en el punto de la viga mostrada:


E-5). Calcular las reacciones y los momentos de la viga mostrada:




III.- Anexos:



Sabemos que el puente que se muestra en la figura es una estructura isostática, una viga que tiene un apoyo fijo en un extremo y un apoyo móvil en el otro. Ahora, supongamos que a este puente le sometemos a una carga distribuida constante:



Si queremos calcular su deflexión y giros de esta estructura, es necesario aplicar todo lo aprendido en la teoría desarrollada en el presente trabajo, para así poder dar la solución a los cálculos requeridos.
Por lo que su diagrama de momentos reducidos será:



Y con los teoremas aprendidos de pendiente y de desviación tangencial obtener la solución:



IV.- Bibliografía.

Mecánica de Materiales
FERDINAND P. BEER, E. RUSSEL JOHNSTON, JR.
Págs. 528 – 537
2º Edición

Resistencia de Materiales I – II
A. ARTEAGA N., P. IBERICO C., P. IBERICO C., C. GONZALES, A. MEGO C.
Págs. 137 – 152
3º Edición.

Análisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Págs. 21 – 37
1º Edición.