lunes, 19 de mayo de 2008

Introducción

El presente trabajo trata sobre uno de los métodos para calcular desplazamientos y giros en un punto cualquiera de una viga determinada, como es el método del área de momentos.
En este trabajo daremos a conocer la definición de este método, así también en que tipos de estructura se utiliza, los teoremas que comprende y sus respectivas demostraciones, las condiciones que requiere, qué es una desviación tangencial y una variación de la pendiente, la convención de signos correspondientes y por último la aplicación de todo esto para la solución de problemas dados.


Dentro de la definición conoceremos a que se debe el nombre de “área de momentos”, para qué sirve y qué nos permite conocer. En lo que respecta al tipo de estructura, conoceremos en qué tipo de viga son aplicables sus teoremas.


De los teoremas, conocidos como los teoremas de Mohr, a través de sus respectivas demostraciones obtendremos los factores que lo conforman y conoceremos la aplicación de cada uno de ellos. Así también, por la deducción de estos teoremas, conoceremos a que se refiere una desviación tangencial y una variación de pendiente en cualquier punto de una viga dada.

La convención de signos, con lo que respecta a una desviación tangencial positiva o negativa, o a una variación de pendiente positiva o negativa se explicará de una manera muy práctica, mediante gráficos con sus respectivas deducciones.
Por último, después de haber conocido todos estos conceptos básicos para poder resolver de ejercicios, procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teoría para llevarlos a la práctica.

I.- Objetivos:

- Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de una viga determinada, utilizando para ello el método del área de momentos con los teoremas de Mohr.
- Graficar correctamente el diagrama de momentos de una viga determinada con una carga cualquiera.
- Graficar correctamente la elástica de una viga determinada con una carga cualquiera.


II. Limitaciones del trabajo:

o Desarrollar ejercicios con más grado de dificultad.
o Aplicar la teoría en ejercicios como vigas de varios tramos y de diferentes cargas.


· Justificación del trabajo:


o Manejar correctamente la teoría del método del área de momentos para el mejor entendimiento en la resolución de ejercicios.
o Obtener buenos resultados en el aprendizaje del presente tema, métodos del área de momentos, conociendo aun más la teoría.


Glosario:
- , ángulo que hace con el eje de abscisas la tangente geométrica al eje de la estructura (eje aún no deformado).

- Momentos reducidos.

- , ángulo que forman entre sí las tangentes geométricas trazadas en los puntos B y A del eje deformado.


- tAB, Distancia del punto B del eje deformado a la tangente trazada en el punto A del mismo eje, distancia medida perpendicularmente al eje de abscisas considerado.

- A, área encerrada por el diagrama de momentos reducidos, entre los extremos correspondientes a B y A.



- X, abscisa del centro de gravedad del área “A” medida desde el extremo B.


II.- MÉTODO DEL ÁREA DEL DIAGRAMA DE MOMENTOS
TEOREMAS DE MOHR


Un método muy útil y sencillo para determinar la pendiente y deflexión en las vigas es el método del área de momentos, en el que intervienen el área del diagrama de momentos y el momento de dicha área. Se comienza, en primer lugar, por los dos teoremas básicos de este método; luego, una vez calculadas las áreas y los momentos de estas áreas del diagrama de momentos, se aplica el método a varios tipos de problemas. El método está especialmente indicado en la determinación de la pendiente o de la deflexión en puntos determinados más que para hallar la ecuación general de la elástica. Como en su utilización se ha de tener en cuenta la forma y relaciones geométricas en la elástica, no se pierde el significado físico de lo que se está calculando.
El método del área de momentos está sujeto a las mismas limitaciones que el de la doble integración. Sin embargo, para verlo en su totalidad, como un conjunto completamente independiente, se repite una pequeña parte de lo dicho en la sección anterior. La figura (a), representa una viga simplemente apoyada con una carga cualquiera. La elástica, como intersección de la superficie neutra con el pleno vertical que pasa por el centroide de las secciones, se representa en la figura (b), aunque sumamente exagerada. El diagrama de momentos se supone que es el representado en la figura (c).







1.- Teoremas de Mohr:


Los teoremas de Mohr, describen la relación entre el momento flector y las deformaciones que éste produce sobre una estructura. Los teoremas de Mohr permiten calcular deformaciones a partir del momento y viceversa. Son métodos de cálculo válidos para estructuras isostáticas e hiperestáticas regidas por un comportamiento elástico del material.
Usualmente estos teoremas conocen como Teoremas de Mohr, sin embargo fueron presentados por el matemático británico
Green en 1873



Teoremas:




a) Teorema I:

El ángulo comprendido entre las tangentes de dos puntos cualesquiera A y B de la línea elástica es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos, dividida por E.I.








Como





El teorema de Mohr dice que el giro de un punto de una elástica (la deformada) respecto de otro punto de la elástica, se puede obtener mediante el área de momentos flectores entre A y B, dividido por la rigidez a flexión "EI".


b) Teorema II:



La ordenada B respecto a la tangente en A es igual al momento estático, con respecto a B, del área del diagrama de momentos flectores comprendida entre A y B, dividida por E.I







Si existe un punto de inflexión en la línea elástica entre A yB:


El momento estático recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia a su centro de gravedad. Por otro lado, si la figura que representa el diagrama puede descomponerse en figuras elementales tales como rectángulos, triángulos, parábolas, etc., el momento estático total resultara ser la suma de los correspondientes a cada una de las figuras elementales.


La longitud tA/B se llama desviación de B respecto de una tangente trazada por A o bien desviación tangencial de B respecto de A. El subíndice indica que se mide desde B hasta la tangente trazada en A. la figura adjunta aclara la diferencia que existe entre la desviación tangencial tA/B de b respecto a A y la desviación tB/A de A respecto de B. Por lo general ambas desviaciones son distintas.




Notas:


El producto EI se llama rigidez de la flexión. Obsérvese que se ha supuesto tácitamente que E e I permanecían constantes en toda la longitud de la viga, que es un caso muy común. Sin embargo, cuando la rigidez es variable, no puede sacarse EI del signo de la integral, y hay que conocerla en función de x. Tales variaciones suelen tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de momentos para obtener de esta misma manera un diagrama de M/EI al que se aplican los dos teoremas en vez de aplicarlos al diagrama de M.
En los dos teoremas, (área)AB representa el área del diagrama de momentos entre las ordenadas correspondientes entre los puntos A y B, XB es el brazo de momento de esta área con respecto a B. Cuando el área del diagrama de momentos se compone de varias partes, positivas y negativas, la expresión (área)AB . XB representa el momento del área de todas estas partes.
El momento del área se tomo siempre con respecto a la ordenada del punto cuya desviación se quiere obtener, por lo que conviene ponerle a X el subíndice correspondiente, por ejemplo B, lo que indica que el brazo de momentos se toma hasta este punto. Obsérvese que este subíndice B es el mismo del numerador del subíndice de t, B/A.



2.-Convención de Signos:


La desviación tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto que por encima de la tangente trazada con respecto a la cual se toma esta desviación, y negativa si queda por debajo de dicha tangente.





Otro convencionalismo de signos es el que se refiere a las pendientes y se indica en la figura. La variación de la pendiente es positiva cuando indica que la tangente en el punto situado a la derecha, B, se obtiene girando en sentido contrario al del reloj, la tangente trazada en el punto más a la izquierda, A; es decir, que para pasar de la tangente en A, a la tangente B se gira en sentido contrario al del reloj, y viceversa para los valores negativos.



3.- Método de Bresse:
















Por convención los signos son positivos.






a) Concavidad y Convexidad:
· Si el diagrama de momentos es positivo en el tramo analizado, entonces la deformada es cóncava.
· Si el diagrama de momentos es negativo en el tramo analizado, entonces la deformada es convexa.


Algunas áreas del diagrama de momentos:













Aplicación De Los Teoremas De Mohr Para La Resolución De Vigas Hiperestáticas.













Incógnitas: Ecuaciones:
En A: RA ∑F = 0
En B: RB y MB ∑M = 0


Resolución del sistema hiperestático:






Por el segundo teorema de Mohr:






Para x = 1:

M = 0:
Como :





Q= 0:



4.- Aplicación:


Una observación muy importante en cuanto a la aplicación de los teoremas anteriores es que cuando la elástica tiene un punto de inflexión el diagrama de momentos reducidos cambia de signo, en ese caso cada parte del diagrama debe tratarse con su propio signo.
Los teoremas de Mohr son relativos, es decir, siempre se calcula la flecha o el giro respecto al de otro punto. Su aplicación práctica sólo es útil cuando uno de los puntos tiene un giro o flecha conocido, especialmente si por sus
condiciones de contorno alguno de estos valores es cero.


Ejemplos:

E-1) Calcular la flecha en “C”:



E-2). Calcular la fleca en “b”, si la magnitud de la fuerza P está en función de w.l:




E-3). Calcular la fleca el giro en B y en C, si E=2.1x106 e I=8x103




E-4). Calcular la flecha en el punto de la viga mostrada:


E-5). Calcular las reacciones y los momentos de la viga mostrada:




III.- Anexos:



Sabemos que el puente que se muestra en la figura es una estructura isostática, una viga que tiene un apoyo fijo en un extremo y un apoyo móvil en el otro. Ahora, supongamos que a este puente le sometemos a una carga distribuida constante:



Si queremos calcular su deflexión y giros de esta estructura, es necesario aplicar todo lo aprendido en la teoría desarrollada en el presente trabajo, para así poder dar la solución a los cálculos requeridos.
Por lo que su diagrama de momentos reducidos será:



Y con los teoremas aprendidos de pendiente y de desviación tangencial obtener la solución:



IV.- Bibliografía.

Mecánica de Materiales
FERDINAND P. BEER, E. RUSSEL JOHNSTON, JR.
Págs. 528 – 537
2º Edición

Resistencia de Materiales I – II
A. ARTEAGA N., P. IBERICO C., P. IBERICO C., C. GONZALES, A. MEGO C.
Págs. 137 – 152
3º Edición.

Análisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Págs. 21 – 37
1º Edición.



1 comentario:

Cano Cabezas dijo...

Aquí hay más ejercicios de Resistencia de Materiales

http://www.ejerciciosresueltos.cl/categorias.php?cat=resMat

Salu2....