Método de la Viga Conjugada

INTRODUCCIÓN:
El presente trabajo se basa en la investigación para conocer un poco más sobre otro de los métodos que permite encontrar giros y desplazamiento en cualquier punto de la elástica en una viga; me refiero al método de la viga conjugada.

En este trabajo daremos a conocer sobre la definición de este método, para qué nos sirve, como es su proceso aplicativo, en qué tipo de estructura es aplicable este método, qué es una viga ficticia y qué relaciones guarda con una viga real, la diferencia de este método con el que ya estudiamos anteriormente (área de momentos), y por último procederemos a resolver los problemas dados conociendo los aspectos más básicos de la teoría.

En la definición, explicaremos a qué se le llama “viga conjugada”, en qué fundamentos teóricos se basa, que tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica y que se utiliza en vigas y columnas estáticamente determinadas.
También, aprenderemos a través de un gráfico que una viga ficticia es aquella que se carga con el diagrama de momentos reducidos de la viga real, y por consiguiente guardan relación de donde se obtiene las analogías que se utilizan para resolver los ejercicios.
La convención de signos en este método se fundamenta en el resultado de haber encontrado el momento o la fuerza cortante de la viga ficticia, pues según sea el signo de la respuesta, se sabrá el signo de la flecha o del giro en la viga real.
Por último, después de haber conocido todos estos conceptos básicos para poder resolver los ejercicios, procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teoría para llevarlos a la práctica.

Objetivos:
- Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de la viga real utilizando una viga ficticia para ello.
- Graficar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la viga real para poder crear así nuestra viga ficticia.
- Resolver los ejercicios dados a través de las relaciones estudiadas entre una viga real y ficticia.

Limitaciones del trabajo:
o Desarrollar ejercicios con más grado de dificultad.
o Aplicar la teoría en ejercicios como vigas de varios tramos y de diferentes cargas.

Justificación del trabajo:
o Manejar correctamente la teoría del método de la viga conjugada para el mejor entendimiento en la resolución de ejercicios.
o Obtener buenos resultados en el aprendizaje del presente tema, conociendo aun más la teoría.

Glosario:

MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA

Fundamentos Teóricos.

Derivando 4 veces la ecuación de la elástica se obtiene.

La relación entre ordenadas, pendientes y momentos son las mismas que las que existen entre momento, fuerza cortante y carga. Esto sugiere que puede aplicarse el método de área de momentos para determinar el momento flector, partiendo del diagrama de cargas, de la misma manera que se ha empleado para determinar las ordenadas a partir del diagrama de momentos.
La analogía entre las relaciones entre carga-fuerza, cortante-momento flector y entre momento-pendiente-ordenadas, sugiere que éstas últimas se puedan establecer con los métodos de diagramas de fuerza cortante y momento flector para calcular la fuerza cortante y momento flector a partir de las cargas. Para ello hay que suponer que la viga está cargada, no con las cargas reales sino con el diagrama de m/EI correspondiente a dichas cargas.
Considerando entonces este diagrama de M/EI como una carga ficticia, se calcula la fuerza cortante y momento flector ficticios, en un punto cualquiera, que se corresponden con la pendiente y la ordenada de la elástica en los mismos puntos de la viga inicial. A este método se le denomina Método de la Viga Conjugada.
Aplicando a una viga cargada con el diagrama de M/EI los principios estudiados para hallar la fuerza cortante y momento flector se tiene:

1. Pendiente real = Fuerza Cortante Ficticia.
2. Ordenada real = Momento Flector Ficticio.

Definición de la viga conjugada:

Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado de la compresión.
La viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada.
El método de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma.

Este método consiste en cambiar el problema de encontrar, las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistemas de cargas aplicadas. Tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica.

Viga conjugada:

Relaciones entre la viga real y la viga conjugada.

a.- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma.
b.- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real.
c.- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el
mismo punto de la viga real.
d.-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el
mismo punto de la viga real.
e.-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada.
f.- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga
conjugada.
g.- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado.
h.- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulación
en la viga conjugada.


Relaciones entre los apoyos

Este método al igual que el del eje elástico y área de momentos nos permite calcular los giros y flechas de los elementos horizontales denominados vigas o de los verticales llamados columnas.
En este capítulo estudiaremos este importante método aplicándolo tanto a vigas como pórticos.
En cuanto a las características de la viga conjugada, dado que al cargarse ésta con las cargas elásticas su diagrama de momentos flectores debe representar exactamente la elástica de la viga real, sus vínculos deben elegirse de manera tal que se respeten estas premisas.

Analogías de Mohr

Convenios de signos:
Si la fuerza cortante sale con signo positivo el giro es horario.
Si el momento flector sale con signo negativo la flecha es hacia abajo.

Conclusión:
El cortante en cualquier sección de la viga conjugada es el giro en la viga real en dicha sección.
El momento flector en una sección de la viga conjugada es la flecha en la viga real en dicha sección.

Relación entre la viga real y la viga conjugada:

a). Un apoyo extremo en la viga principal ha de transformarse en un apoyo en la viga conjugada.
b). Un apoyo intermedio en la viga principal ha de transformarse en una articulación de la viga conjugada.
c). Un extremo empotrado en la viga principal ha de transformarse en un extremo libre en la viga conjugada.
d). Un extremo libre en la viga principal ha de transformarse en un extremo empotrado en la viga conjugada.
e). Una articulación en la viga principal ha de transformarse en un apoyo intermedio de la viga conjugada.


Ejercicios:

E-1). Determinar el giro en B y la fleca en C de la siguiente estrucutura:

E-2) Calcular la flecha en B:

E-3) Encontrar la flecha máxima en la viga:

E. 4) Calcular el giro en B y la flecha en D de la siguiente viga:

E-5) Calcular el giro en B de la siguiente viga:

ANEXOS:
Los puentes de elevación vertical utilizan cables, poleas, motores y contrapesos para levantar una sola sección del puente en forma vertical como si fuera un elevador. Cuando el puente está arriba pueden pasar por debajo barcos con la altura máxima de la parte inferior de su estructura. Constan de dos torres en los extremos construidas generalmente con piezas de acero.

Utilizando todo lo aprendido acerca del método de la viga conjugada, podremos encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada, a través de un cálculo más práctico, porque sólo nos basta graficar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como una nueva viga (ficticia) y, encontrar lo solicitado. Aplicando correctamente la relación que existe entre esta viga ficticia con la real.

Bibliografía.

Análisis Estructural
GENARO DELGADO CONTRERAS
Págs. 21 – 37
1º Edición.

Mecánica de Materiales
FERDINAND P. BEER, E. RUSSEL JOHNSTON, JR.
Págs. 528 – 537
2º Edición

Resistencia de Materiales I – II
ARTEAGA N., P. IBERICO C., P. IBERICO C., C. GONZALES, A. MEGO C.
Págs. 137 – 152
3º Edición.