miércoles, 30 de julio de 2008

Ecuación de los Tres Momentos


Introducción:

El presente trabajo se basa en la investigación para conocer un poco más sobre otro de los métodos que permite encontrar reacciones y los momentos en cualquier punto de una viga; me refiero al método de los tres momentos.

En este trabajo daremos a conocer sobre la definición de este método, para qué nos sirve, como es su proceso aplicativo, en qué tipo de estructura es aplicable este método, la diferencia de este método con el que ya estudiamos anteriormente (área de momentos y viga conjugada), y por último procederemos a resolver los problemas dados conociendo los aspectos más básicos de la teoría.

En la definición, explicaremos a qué se le llama “ecuación de los tres momentos”, en qué fundamentos teóricos se basa, que nos permite calcular las reacciones en los tres apoyos y diagramas de fuerza cortante y momento flexionante completos.
También, aprenderemos a través de un gráfico que una viga con apoyos simples y con varios tramos es aquella en donde se podrá aplicar este método.
Por último, después de haber conocido todos estos conceptos básicos para poder resolver los ejercicios, procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teoría para llevarlos a la práctica.

Objetivos:

- Determinar las reacciones en los apoyos y los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante completos.
- Graficar correctamente el diagrama de momentos flexionante y el diagrama de fuerza cortante de la viga.
- Resolver los ejercicios dados a través de la teoría estudiada, aplicando la ecuación de los tres momentos.

Limitaciones del trabajo:

o Desarrollar ejercicios con más grado de dificultad.
o Aplicar la teoría en ejercicios como vigas de varios tramos y de diferentes cargas.

Justificación del trabajo:

o Manejar correctamente la ecuación de los tres momentos para el mejor entendimiento y resolución de los ejercicios.
o Obtener buenos resultados en el aprendizaje del presente tema, conociendo aun más la teoría.

Glosario:

- En general y para viaje en tramos de sección constante:

Mi, Mj, Mk = Momentos flectores en los apoyos (en la convención de signos de resistencia de materiales)

Lj = Longitud reducida del tramo de longitud Lj y momento de inercia Ij.

E = Modulo o coeficiente de elasticidad normal.

J = Momento de inercia de comparación.

MÉTODO DE LOS TRES MOMENTOS.

Desarrollado por Clapeyron para el cálculo de las vigas continuas es un método muy operativo e interesante por la forma de aplicación del principio de superposición así como por la introducción de las condiciones de continuidad en la tangente de la elástica.

Vigas Continuas

Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:




M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0

Donde:
M1, M2, M3 : Momento flectores en los apoyos 1, 2 y 3
L1, L2 : Longitudes de los tramos 1 y 2
A1, A2 : Área del diagrama de Momentos Flectores de las Cargas sobre los tramos 1 y 2
a1 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 1 al apoyo 1.
b2 : Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 2 al apoyo 3.

Los términos (6A1a1)/L1 y (6A2b2)L2 pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas básicos.
Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose.

Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:



Tramo 1-2:
M1L1 + 2M2(L1 + L2) + M3L2 + (6A1a1)/L1 + (6A2b2)/L2 = 0

Tramo 2-3:
M2L2 + 2M3(L2 + L3) + M4L3 + (6A2a2)/L2 + (6A3b3)/L3 = 0

Tramo 3-4:
M3L3 + 2M4(L3 + L4) + M5L4 + (6A3a3)/L3 + (6A4b4)/L4 = 0

En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5). Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en tos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:

1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.

2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:

M4L4 + 2M5(L4 + L0) + M0L0 + (6A4a4)/L4 + (6A0b0)/L0 = 0

M4L4 + 2M5L4 + (6A4a4)/L4 = 0
O sea :

3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.




M1 = 0
M2 = PL1


Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:

R1=(M2-M1)/L1 < r2="">
Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo:



R1=(M2-M1)/L1

R2=(M1-M2)/L1 + (M3-M2)/L2

R3=(M2-M3)/L2 + (M4-M3)/L3

R4=(M3-M4)/L3 + (M5-M4)/L4

R5=(M4-M5)/L4

Por medio de este teorema puede analizar una viga apoyada por cualquier número de apoyos, esto se debe a que relaciona los momentos flexionante en 3 apoyos entre sí y con las cargas que se encuentran en la viga.

Ejercicios:













4 comentarios:

Hernán dijo...

buen aporte :)

Kamy-. dijo...

muchas gracias =)

Dilop22 dijo...

Muchas gracias!!!!!

Jerome dijo...

el ultimo ejercicio esta malo, al aplicar el concepto de mohr en la viga 23 la reaccion ficticia hacia la der no da p*l*l/16, sería así si la fuerza P cayera justo al medio, la fuerza ficticia es p*3*4,2*(7,2+4,2)/6*7,2. o sea 13,3, saludos